Tangram

Il tangram è un antico gioco di origine cinese, ottenuto scomponendo un quadrato in sette parti dette tan: un quadrato, un romboide, e cinque triangoli rettangoli isosceli, di cui due grandi, uno medio e due piccoli .
Le regole tradizionali del gioco sono semplici: si tratta di disporre sul piano, evitando sovrapposizioni, tutti i sette tan in modo da formare figure che riproducano, rispettando le proporzioni, quelle riportate in formato ridotto sui libretti che accompagnano il gioco.
Giocare con il tangram può sembrare facile, troppo facile, soprattutto quando lo si vede già assemblato sotto forma di quadrato: normalmente però un principiante trova già difficoltà a comporre il quadrato, una volta tolti i pezzi dalla scatola.
Il tangram però non è un rompicapo come tanti altri. In effetti dopo averci giocato un po', si comincia ad apprezzare la sottile eleganza con cui è stato diviso il quadrato.
Da ciò si comprende come il tangram si possa ottenere piegando e ritagliando opportunamente un quadrato di carta.
Questo modo di ottenere i vari tan comporta che tra i lati e gli angoli dei tan vi sono molti legami. Per questo motivo nel gioco del tangram, così come per l'origami, accade che, malgrado la semplicità del materiale impiegato, si possono realizzare sia figure geometriche – come il quadrato – in cui si annullano le caratteristiche dei vari tan, sia figure di ogni tipo in cui invece le caratteristiche di ciascun tan vengono messe in risalto. Alcune figure sono così espressive da sembrare vive e articolate.
È anche possibile rappresentare lo stesso soggetto in posizioni differenti e quindi il tangram si può utilizzare anche per illustrare storie e per realizzare cartoni animati.
Una caratteristica notevole di molte figure tangram è quella di suggerire all'immaginazione molto più di quanto effettivamente rappresentano: di fatto si tratta di illusioni ottiche; le figure tangram nella loro essenzialità ed efficacia offrono una ricchezza percettiva simile a quella della pittura zen che si basa sull'idea che "la tavolozza della mente è più ricca di quella del pennello".
Le figure tangram ricordano nella loro espressività le silhouettes o i giochi d'ombra con le mani.
Il tangram offre così notevoli spunti allo studio della percezione visiva e può essere impiegato come base di test psicologici.

In un volume, tuttora edito in inglese, che sottolineava l'importanza del gioco nell'insegnamento e nella divulgazione della matematica, Rouse Ball nell'800 scriveva: " La formazione di figure per mezzo di questi sette pezzetti di legno... è uno dei più antichi passatempi orientali. È possibile ottenere con essi centinaia di immagini di uomini, donne, bestie, pesci, case, barche, oggetti di uso domestico, figure geometriche, eccetera, tuttavia il tipo di divertimento offerto non è di natura matematica e quindi mi limito semplicemente a farne menzione ".
Ora invece vedremo che non è così, anzi vedremo che c'è una sorprendente analogia tra certi aspetti del giocare con il tangram ed il "fare matematica". Cercheremo addirittura di spiegare, utilizzando il tangram come esempio e metafora, in che cosa consiste da sempre l'attività matematica.
Nonostante la matematica sia insegnata nelle scuole di ogni ordine e grado, molti non si rendono conto di che cosa essa sia. Nelle opere divulgative spesso si raccontano biografie o aneddoti tratti dalla vita di matematici famosi del passato. Raramente si spiega però cosa sia la matematica e quali sono le sue peculiarità. In effetti divulgare la matematica non è facile. Alcuni credono che la matematica si capisce veramente quando la si fa. C'è da dire poi che molte persone, anche di cultura, ritengono che la matematica sia un complesso cristallizzato di regole, al quale non si possa aggiungere nulla.
Ciò non è vero: la matematica progredisce sempre e ne abbiamo sotto gli occhi tutti i giorni molte applicazioni. Eppure, come ha rilevato Chevallard al sesto congresso internazionale sulla educazione matematica che si è tenuto a Budapest nel 1988, più la matematica entra nella vita quotidiana rendendo possibile la realizzazione di oggetti di uso semplice ed affidabile, come le tessere bancomat o i compact disc che ascoltiamo o utilizziamo con il computer, e meno riusciamo a rendercene conto.

La matematica progredisce ponendo e risolvendo problemi. Einstein diceva: " Le risposte sono tutte di fronte a noi: basta trovare le domande giuste".
I problemi da cui nascono le teorie matematiche a volte sono di tipo pratico. Altre volte sono problemi che nascono dalla generalizzazione di risultati già ottenuti.
Molte volte è successo che alcune teorie sviluppatesi per uno scopo interno alla matematica si siano rivelate essenziali molti secoli più tardi per problemi completamente diversi. Ad esempio, le curve dette coniche perchè si possono ottenere sezionando un cono con un piano, nacquero forse dallo studio delle meridiane; furono ideate nel IV secolo a.C. dal matematico Menecmo, dell'Accademia di Platone, e utilizzate per risolvere il problema della duplicazione del cubo. In seguito nel III secolo a.C. furono studiate da Euclide, Archimede ed Apollonio; quest'ultimo le ottenne in un modo più generale e dette loro i nomi attuali: ellisse, iperbole e parabola.
Le stesse curve e le loro proprietà geometriche furono utilizzate duemila anni più tardi da Keplero per descrivere le leggi del moto dei pianeti intorno al Sole.
Per fare una altro esempio, solo in tempi recenti la teoria dei numeri, da sempre considerata anche dai matematici una delle teorie più astratte e più pure, ha dato contributi determinanti nel campo della affidabilità e della sicurezza delle telecomunicazioni: senza di essa le imprese spaziali non sarebbero state possibili e le transazioni finanziarie per via telematica non sarebbero state sicure e quindi non si sarebbero sviluppate.

Di che genere sono i problemi studiati dai matematici? Quali sono le loro caratteristiche?
Alcuni, i più ingenui, forse pensando a quello che avviene quando la cassiera fa il conto della spesa al supermercato, pensano che la matematica dia sempre una sola risposta: “Due più due fa quattro! La matematica non è un opinione!” sembra che dicano a sostegno delle loro idee.
C'è da dire però che le cose non stanno proprio così. In matematica, come nel tangram, ci sono problemi con una sola soluzione e problemi con più soluzioni e non solo!
Cominciamo intanto con un problema tangram con una sola soluzione. A questo riguardo facciamo notare che la gru può essere realizzata in un sol modo. Infatti i due triangoli grandi possono essere usati solo per il corpo e le ali, quelli piccoli per le zampe, dopo di che la disposizione degli altri tan è determinata in un sol modo.
Per mostrare un problema con più soluzioni, vediamo prima un esempio col tangram. Per costruire un triangolo rettangolo isoscele come questo possiamo operare in due modi diversi.
Anche nella matematica classica si trovano problemi con più soluzioni. Eccone uno: "Determinare le circonferenze tangenti ad una data retta e passanti per due punti assegnati". Questo problema, che ha due soluzioni, con un po' di conoscenza di geometria euclidea, può essere risolto con riga e compasso. Seguiamo passo a passo la costruzione geometrica.
Non c'è quindi da stupirsi se in matematica si studiano problemi con due o più soluzioni: ce ne sono alcuni che addirittura hanno un numero infinito di soluzioni.

In matematica come in altre discipline si possono incontrare problemi che non ammettono soluzione. In matematica però, a differenza di quanto avviene in altri settori, ciò spesso può essere provato senza tema di smentita.
A volte l'impossibilità di risolvere un problema è abbastanza evidente. Ad esempio, un teorema di geometria euclidea stabilisce che in un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due e quindi può accadere che scegliendo tre segmenti a caso non sia possibile costruire con essi un triangolo che li ammette come lati.
Altre situazioni di impossibilità sono meno evidenti. Cominciamo con un esempio tangram. Non è molto ovvio che con i sette tan non è possibile realizzare questa cornice. Però è facile dimostrarlo. Basta seguire un ragionamento analogo a quello utilizzato per dimostrare l'unicità della soluzione per la gru: i triangoli grandi possono essere sistemati solo in due angoli opposti della cornice. Il tan quadrato può allora essere messo solo in uno dei due angoli rimanenti ed il romboide dovrà perciò toccare il quarto angolo, ma in questa situazione non resta spazio per il triangolo medio ed a questo punto non serve considerare i triangoli piccoli .
Passiamo ora alla matematica. Uno degli esempi classici più famosi è il cosiddetto problema della trisezione dell'angolo, ossia il problema di dividere in tre parti uguali un angolo qualunque. Questo problema era studiato già nel V secolo a.C. Utilizzando solo la riga ed il compasso, i matematici erano riusciti a bisecare, cioè a dividere in due parti uguali, un angolo qualunque, e avevano visto che con questi stessi strumenti si poteva costruire l'angolo di 30°, che è la terza parte dell'angolo retto. Essi cercarono perciò per secoli di risolvere il problema della trisezione dell'angolo usando solo riga e compasso, ma con tali mezzi nessuno vi riuscì. Solo dopo più di duemila anni, nel 1837, Pierre Laurent Wantzel dimostrò, con un procedimento algebrico, che esistono angoli che non possono essere trisecati con riga e compasso.
Tuttavia l'impossibilità di risolvere sia il problema della cornice che quello della trisezione dell'angolo è legata agli strumenti che si vogliono usare. Ad esempio, se invece del tangram tradizionale si usano le tavolette di Sei Shanagon, scrittrice giapponese della fine del X secolo, la cornice può essere costruita.
Per il problema della trisezione dell'angolo sono stati escogitati fin dall'antichità vari strumenti. che riescono a risolverlo. Uno di questi, basato su una soluzione dovuta ad Archimede, è detto anche trisettore di Pascal.

Continuando con il nostro confronto tra tangram e matematica, osserviamo che in matematica si studiano anche problemi di classificazione.
Pensando ai poligoni regolari, che sono infiniti, si potrebbe credere che i poliedri regolari, cioè i solidi che hanno per facce poligoni regolari tutti uguali e tali che in ogni vertice si incontri sempre lo stesso numero di facce, siano anch'essi infiniti. Gli antichi Greci scoprirono invece che i poliedri regolari, che si chiamano anche solidi platonici perchè ne parlò Platone nel Timeo, sono solo cinque, ovvero: il tetraedro, che ha per facce quattro triangoli equilateri, il cubo o esaedro, che ha per facce sei quadrati, l'ottaedro che ha per facce otto triangoli equilateri, il dodecaedro che ha per facce dodici pentagoni regolari ed infine l'icosaedro che ha per facce venti triangoli equilateri.
Questo dei poliedri regolari è forse il più antico problema di classificazione risolto in matematica. Ma ce ne sono tanti altri. Un problema di classificazione è stato risolto recentemente, intorno al 1980. Esso concerne le strutture algebriche e riguarda la classificazione dei gruppi finiti semplici, che per la teoria dei gruppi sono quello che i numeri primi sono per i numeri interi, nel senso che moltiplicando fra loro numeri primi si ottengono tutti i numeri interi e moltiplicando tra loro gruppi finiti semplici si ottengono tutti i gruppi finiti. La soluzione di questo problema ha coinvolto più generazioni di matematici: c'è voluto più di un secolo e sono state scritte oltre 15.000 pagine per raggiungere questo risultato!
Anche nel tangram ci sono problemi di classificazione. Uno di questi è il problema di classificare le figure convesse che si possono ottenere con esso.
Le figure convesse hanno una precisa definizione matematica, ma per quanto ci riguarda possiamo dire che, se le figure avessero uno spessore, contornando con un elastico una figura convessa si racchiuderebbero esattamente tutti e soli i suoi punti, mentre per una figura non convessa resterebbero degli spazi vuoti.
Due matematici cinesi, Fu Traing Wang e Chuan-Chih Hsiung, nel 1942 hanno classificato le figure convesse che possono essere realizzate con il tangram. Esse sono tredici e sono: un triangolo, sei quadrilateri, due pentagoni e quattro esagoni. I quadrilateri sono: un quadrato, un rettangolo, un parallelogramma, un trapezio isoscele e due trapezi rettangoli. Nel 1995 un giovane insegnante italiano (Silvio Giordano) ha dimostrato inoltre che i quadrilateri realizzabili col tangram sono solo quelli ora visti e cioè quelli convessi.
Per quel che riguarda le figure tangram pentagonali, invece, dopo che Martin Gardner nel '74 ha ripreso nella sua rubrica Giochi Matematici di Scientific American il problema di classificarle, già considerato da Lindgren nel '68, ne sono state individuate ben 53 (cfr.Gardner 1988). Questo risultato è stato verificato con l'utilizzo del computer mediante programmi appositamente realizzati. Finora però non si ha una prova completa e quindi questo è un problema tangram aperto.

Arriviamo così ai problemi aperti in matematica. Anche oggi ci sono problemi aperti in matematica e sperabilmente ce ne saranno sempre. In matematica infatti, come nelle altre scienze, a mano a mano che si progredisce si aprono sempre nuovi orizzonti.
Inoltre ci sono problemi aperti anche da secoli e ciò è importante. Questi problemi, anche se dal punto di vista pratico possono sembrare scarsamente interessanti, spesso finiscono col determinare la nascita di nuovi fruttuosi ed importanti settori di ricerca o col suggerire applicazioni inaspettate.
Certi problemi aperti hanno una formulazione così semplice che possono essere compresi anche dai ragazzi della scuola media. Uno di questi, posto nel 1742, è l'ipotesi di Goldbach, matematico tedesco amico di Eulero, secondo cui ogni numero pari maggiore di due può essere espresso come somma di due numeri primi. Ad esempio: 4 = 2+2, 6 = 3+3, 8 = 3+5, 10 = 5+5, e così via.
È ovvio però che anche usando un potente computer, non possiamo continuare questa verifica all'infinito e ancora nessuno è riuscito a dimostrare questa congettura nè a trovarne un controesempio, ossia non si è ancora trovato un numero pari che non può essere espresso come somma di due numeri primi.

Ora infine osserviamo bene queste due figure. A prima vista sembra impossibile che entrambe si possano ottenere con il tangram rispettando tutte le regole, e cioè utilizzando tutti e 7 i pezzi senza sovrapporli. Sembrano infatti due omini uguali, a parte che in uno manca il piede. Eppure malgrado le apparenze queste due figure sono entrambe realizzabili. Non ci stupiamo più se osserviamo bene come sono composte. Figure come queste, completamente ignorate nei manuali tangram tradizionali, sono state introdotte all'inizio del ventesimo secolo da due famosi enigmisti: Sam Loyd, americano, ed Ernst Dudney, inglese.
Evidentemente l'area di entrambe le figure deve essere la stessa. Ci chiediamo perciò come mai il primo omino sembra perfettamente identico al secondo tranne per il fatto che manca una parte.
La spiegazione è la seguente: in entrambi la testa, il cappello e le braccia sono formati con gli stessi pezzi. La larghezza delle basi dei corpi è uguale, ma nel primo omino il corpo è costituito da tre pezzi, e nel secondo da quattro. Il corpo del primo omino differisce da quello del secondo esattamente per l'area della striscia colorata in rosso: quest'area è quindi uguale a quella del piede..
Dunque il secondo omino è più panciuto del primo: a prima vista non ce n'eravamo accorti e l'esistenza di entrambi ci sembrava contraddittoria. L'esistenza di queste figure dà luogo quindi ad un paradosso.
Anche in matematica vi sono situazioni che danno luogo a paradossi, ovvero portano a conclusioni che vanno contro alla comune opinione.
Ad esempio, lo stesso Galileo rimase colpito dal seguente fatto matematico: visto che ogni numero intero ha un quadrato, si può dire che ci sono tanti numeri interi quanti sono i loro quadrati; tuttavia non tutti i numeri interi sono quadrati perfetti e quindi questi ultimi sembrerebbero essere di meno rispetto a tutti i numeri interi.
Galileo lo considerò una difficoltà insormontabile e scrisse: "Queste son di quelle difficoltà che derivano dal discorrer che noi facciamo col nostro intelletto finito intorno a gl'infiniti".
Nel 1873, Georg Cantor, matematico tedesco, sgombrò però il terreno dalle numerosissime dispute filosofiche che avevano avuto luogo dal tempo di Aristotele a cui si era adeguato lo stesso Galileo e riuscì a confrontare tra loro anche insiemi infiniti. Il metodo sul quale si basò si può esemplificare come segue.
Per verificare che in questo dipinto di Escher ci tanti cavalli quanti sono i cavalieri, senza contarli, basta constatare che ogni cavallo porta un cavaliere; quindi gli elementi di questi due insiemi (quello dei cavalli e quello dei cavalieri) si possono appaiare.
Analogamente si può inventare una strategia per appaiare i punti di questi due segmenti e confrontare così la numerosità degli insiemi dei loro punti. Constatando che ogni punto P del segmento AB si può accoppiare con il punto P' del segmento CD ottenuto come in figura, si conclude che il segmento AB ha tanti punti quanti ne ha CD, anche se è più corto.
Con quest' altro stratagemma si possono accoppiare i punti di un segmento e quelli di una retta, arrivando perciò alla conclusione che un segmento ha tanti punti quanti ne ha una retta tutta intera.
Non tutti gli insiemi infiniti sono però uguali: basti pensare che non c'è alcun modo di appaiare i punti di una retta con i soli numeri interi nè con i soli numeri razionali (che sono quelli che si scrivono sotto forma di frazione).
Lo stesso Cantor, che fu criticato anche da eminenti matematici del suo tempo come il suo maestro Leopold Kronecker ed il francese Henri Poincaré, nel 1899 in una sua lettera a Richard Dedekind scriveva: « Lo vedo ma non ci credo! ». Eppure oggi le sue tesi costituiscono un caposaldo della matematica.
David Hilbert, il più importante matematico della prima metà del ventesimo secolo, arrivò a dire: « Nessuno ci potrà scacciare dal paradiso che Cantor ci ha procurato ».

A conclusione del nostro discorso, dobbiamo dire che ci sono aspetti e settori della matematica che non abbiamo neanche sfiorato. Ad esempio, la matematica non si occupa solo di problemi deterministici e a tal riguardo ricordiamo ad esempio che il calcolo delle probabilità, una importante branca della matematica che si è sviluppata a partire dal XVI secolo a partire dallo studio dei giochi d'azzardo, e che trova applicazione nel ramo delle assicurazioni, si occupa appunto di situazioni in cui l'esito è aleatorio ovvero incerto.
Il nostro obiettivo però non era quello di illustrare i più recenti risultati della matematica o tutti i suoi vari aspetti, ma piuttosto di sottolineare le idee ed i metodi che da sempre stanno alla base del "fare matematica".

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